微分積分例

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ です。

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

ステップ 3.3

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ をたし算します。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ の左に移動させます。

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 4$ と $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$x$ と $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

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