微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (1 + x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

項を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{1}}$

ステップ 6.2

$1$ を $1$ で割ります。

$e^{1}$

ステップ 6.3

簡約します。

$e$

微分積分 例

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