微分積分例

${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ で置き換えます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

ステップ 8.3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

ステップ 8.3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

ステップ 8.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

ステップ 9

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 13.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 15

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.2

$2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 17.4.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.2

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.2.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.2.3

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x^{\frac{2}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.2.4

共通因数を約分します。

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot 1 \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.2.5

式を書き換えます。

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.3.1

共通因数を約分します。

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.3.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- 1}{x^{1}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.4

簡約します。

$1 + \frac{- 1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.6

まとめる。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.7

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.7.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.7.3

公分母の分子をまとめます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.7.5

$2$ を $2$ で割ります。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{1} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.8

$x^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.9

$2$ に $1$ をかけます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.10.1

共通因数を約分します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.10.2

式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 17.4.1.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.12.1

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.12.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.12.3

共通因数を約分します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.12.4

式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.13

$\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.14

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.14.2

公分母の分子をまとめます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1 + 3}{2}}}$

ステップ 17.4.1.14.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{2}}}$

ステップ 17.4.1.14.4

$4$ を $2$ で割ります。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

ステップ 17.4.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 17.4.2

$- \frac{1}{x}$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$1 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 17.4.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例