微分積分例

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ を $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ に書き換えます。

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.2

$2 (- \frac{1}{p^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{p^{2}}$ をまとめます。

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.4

$- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.4.2

$- 2$ と $\frac{1}{p^{2}}$ をまとめます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

ステップ 1.3.1.6

$- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

ステップ 1.3.1.6.2

$\frac{1}{p^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

ステップ 1.3.1.6.3

$\frac{1}{p^{2}}$ に $\frac{1}{p^{2}}$ をかけます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

ステップ 1.3.1.6.4

指数を足して $p^{2}$ に $p^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.6.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

ステップ 1.3.1.6.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 1.3.2

$- \frac{2}{p^{2}}$ から $\frac{2}{p^{2}}$ を引きます。

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$- 2 \frac{2}{p^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 2$ と $\frac{2}{p^{2}}$ をまとめます。

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 1.4.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 1.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 4

$- 1$ は $p$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 5

$4$ は $p$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 6.2

$p^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 6.3

${(p^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 6.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 7

べき乗則では、 $p^{- 2}$ の $p$ に関する積分は $- p^{- 1}$ です。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$p^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

ステップ 8.2

${(p^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

ステップ 8.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

ステップ 9

べき乗則では、 $p^{- 4}$ の $p$ に関する積分は $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ です。

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

ステップ 10

簡約します。

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

微分積分 例

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