微分積分例

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{3}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.6

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.6.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.8

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.8.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.9

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$12$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例