微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.2.5.3

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

ステップ 1.1.3.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

ステップ 1.1.3.1.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

ステップ 1.1.3.1.6

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$15$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.5

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $4 - \sqrt{5 x + 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.8

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x + 1}$ を ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.9.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.9.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.9.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + 1$ とします。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

ステップ 1.3.9.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

ステップ 1.3.9.3.3

$u$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

ステップ 1.3.9.4

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

ステップ 1.3.9.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

ステップ 1.3.9.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

ステップ 1.3.9.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.11

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.9.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

ステップ 1.3.9.13

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

ステップ 1.3.9.14

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

ステップ 1.3.9.15

$\frac{1}{2}$ と ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

ステップ 1.3.9.16

$\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $5$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

ステップ 1.3.9.17

$5$ を ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 1.3.9.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.10

$0$ から $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

ステップ 1.5

${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{5 x + 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

ステップ 2.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

ステップ 2.3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

ステップ 2.5

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

ステップ 2.6

$\frac{2}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

ステップ 2.7

根号の下に極限を移動させます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

ステップ 2.8

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 2.9

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 2.10

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

ステップ 3

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

ステップ 3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.2

$6$ から $1$ を引きます。

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$5$ を $- 1 \cdot 5$ で因数分解します。

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

ステップ 4.5

$5$ に $3$ をかけます。

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

ステップ 4.6

$15$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \sqrt{16}$

ステップ 4.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 2 \cdot 4$

ステップ 4.9

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8$

微分積分 例

微分積分例