微分積分例

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 2$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = - 2$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (- 2) + f' (- 2) (x - - 2)$

ステップ 3

$f (- 2)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 3.2

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 3.2.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 1 \cdot 4 + 5$

ステップ 3.2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 4 + 5$

ステップ 3.2.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 8$ から $4$ を引きます。

$- 12 + 5$

ステップ 3.2.3.2

$- 12$ と $5$ をたし算します。

$- 7$

ステップ 4

微分係数を求め、 $- 2$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$3 x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 2 x$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$12 - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$12 + 4$

ステップ 4.3.2

$12$ と $4$ をたし算します。

$16$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = - 7 + 16 (x - - 2)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = - 7 + 16 x + 16 \cdot 2$

ステップ 6.1.2

$16$ に $2$ をかけます。

$L (x) = - 7 + 16 x + 32$

ステップ 6.2

$- 7$ と $32$ をたし算します。

$L (x) = 16 x + 25$

ステップ 7

微分積分 例

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