微分積分例

$y = (2 x + 5) \sqrt{4 x - 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x - 1}$ を ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = 2 x + 5$ および $g (x) = {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(2 x + 5) \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 1$ とします。

$(2 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 1$ で置き換えます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$(2 x + 5) (\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$(2 x + 5) (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 9

総和則では、 $4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 12

$4$ に $1$ をかけます。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 13

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 14

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 14.2

$4$ と $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$(2 x + 5) \frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 14.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 15

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$2$ を $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 15.2

共通因数を約分します。

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 15.3

式を書き換えます。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 16

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 19

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 20

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

ステップ 21

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

ステップ 21.2

$2$ を ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

$2 x + 5$ に $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 5) \cdot 2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 22.1.2

$2$ を $2 x + 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 22.2

$2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.1

$2$ を $2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.1.1

$2$ を $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.1.2

$2$ を $2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2

指数を足して ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{1})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.3

${(4 x - 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{2 (2 x + 5 + 4 x - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.4

$2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 (6 x + 5 - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.5

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 (6 x + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.6

$2$ を $6 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.6.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (3 x) + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (3 x) + 2 (2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.6.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (3 x + 2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 \cdot 2 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例