微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{2} - x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - (4 x^{3})$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 x - 4 x^{3}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 4 x^{3} + 4 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{2} - x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 4 x$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 4 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 4 x$ を $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 5.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 5.2.3

因数分解。

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ステップ 5.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 5.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.7

最終解は $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 \cdot 0 + 4$

ステップ 9.1.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 9.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 11.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0$

ステップ 11.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 1 + 4$

ステップ 13.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 12 + 4$

ステップ 13.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

ステップ 15.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

ステップ 15.2.1.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

ステップ 15.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

ステップ 15.2.1.3.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

ステップ 15.2.1.4

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = 2 - 1$

ステップ 15.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = 1$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 16

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 12 \cdot 1 + 4$

ステップ 17.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 12 + 4$

ステップ 17.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 18

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 19

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

ステップ 19.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

ステップ 19.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

ステップ 19.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 - 1$

ステップ 19.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (1) = 1$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 20

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(- 1, 1)$ は極大値です

$(1, 1)$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例