微分積分例

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$x$ を $x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x (x - 2)$ および $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.2

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

$x - 1$ を $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.2.3

$x - 1$ を $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.11.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.4

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2

$2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.2

$- 4 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.3

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$x$ を $x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ です。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x (x - 2) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.3.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.3.4

最終解は $x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{((0) - 1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{- 1}$

ステップ 9.2

$2$ を $- 1$ で割ります。

$- 2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

ステップ 11.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 11.2.3

$0$ を $- 1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{((2) - 1)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

分母を簡約します。

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ステップ 13.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{1^{3}}$

ステップ 13.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1}$

ステップ 13.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 14

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 15

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

ステップ 15.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = \frac{4}{1}$

ステップ 15.2.3

$4$ を $1$ で割ります。

$f (2) = 4$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 16

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(2, 4)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例