微分積分例

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x} - 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x} - lim_{x \to 9^{-}} 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x} - lim_{x \to 9^{-}} 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $9$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - lim_{x \to 9^{-}} 9}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $9$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{0}{9 - 9}$

ステップ 1.1.3.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.5.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

ステップ 1.3.8

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 2.2

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9^{-}} 1}{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $9$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x}}$

ステップ 3

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{6}$

10進法形式：

$0.1\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例