微分積分例

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [- 5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

ステップ 3

$- 4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 y^{2}$ を引きます。

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

ステップ 5.1.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

ステップ 5.2

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ の各項を $- 2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ の各項を $- 2 x$ で割ります。

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

微分積分 例

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