微分積分例

$\int_{0}^{1} 14 \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

ステップ 1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $14$ を積分の外に移動させます。

$14 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

ステップ 2

$u = 1 + 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + 7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 7 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$0 + 7$

ステップ 2.1.4

$0$ と $7$ をたし算します。

$7$

ステップ 2.2

$u = 1 + 7 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = 1 + 7 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$7$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 7$

ステップ 2.5.2

$1$ と $7$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$14 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

ステップ 3

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$14 \int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$14 (\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{7}$ と $14$ をまとめます。

$\frac{14}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2

$14$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$7$ を $14$ で因数分解します。

$\frac{7 \cdot 2}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

ステップ 7

$\frac{3}{4}$ と $u^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{1}^{8})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$8$ および $1$ で $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.4

$2$ を $4$ 乗します。

$2 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.5

$3$ に $16$ をかけます。

$2 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.6

$48$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.6.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.6.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 8.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1}{4})$

ステップ 8.2.8

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (12 - \frac{3}{4})$

ステップ 8.2.9

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 8.2.10

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 8.2.11

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

ステップ 8.2.12

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.12.1

$12$ に $4$ をかけます。

$2 \frac{48 - 3}{4}$

ステップ 8.2.12.2

$48$ から $3$ を引きます。

$2 (\frac{45}{4})$

ステップ 8.2.13

$2$ と $\frac{45}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 45}{4}$

ステップ 8.2.14

$2$ に $45$ をかけます。

$\frac{90}{4}$

ステップ 8.2.15

$90$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.15.1

$2$ を $90$ で因数分解します。

$\frac{2 (45)}{4}$

ステップ 8.2.15.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.15.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{45}{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{45}{2}$

10進法形式：

$22.5$

帯分数形：

$22 \frac{1}{2}$

ステップ 10

微分積分 例

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