微分積分例

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

ステップ 1

$u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ とします。次に $d u = (6 x - 4) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{2} - 4 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x^{2} - 4 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 4 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$6 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 4$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{4}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ を $\frac{1}{10} u^{5} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} - 4 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$

微分積分 例

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