微分積分例

$y = x^{\ln (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f = x$ および $g = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

ステップ 3.3

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$x^{\ln (x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

ステップ 3.4.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ をまとめます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3

$x^{\ln (x)}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$x$ を $\ln (x) x^{\ln (x)}$ で因数分解します。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3.2.3

共通因数を約分します。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3.2.4

式を書き換えます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4.3.2.5

$\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

ステップ 3.6

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ の因数を並べ替えます。

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

ステップ 3.7

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ と $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ をたし算します。

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ステップ 3.7.1

$\ln (x)$ と $x^{\ln (x) - 1}$ を並べ替えます。

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

ステップ 3.7.2

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ と $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ をたし算します。

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ として書き換えます。

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

ステップ 5.2

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ の各項を $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ の各項を $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ で割ります。

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2.2

$x^{\ln (x) - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2.3

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ の因数を並べ替えます。

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

微分積分 例

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