微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 1.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 0$

ステップ 2.3.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 3$ です。

$3 x^{2} - 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3 x^{2} = 3$

ステップ 5.3

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$3$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (1)$

ステップ 9

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1$

ステップ 11.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3$

ステップ 11.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = - 2$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- 1)$

ステップ 13

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 + 3$

ステップ 15.2.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = 2$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の極値です。

$(1, - 2)$ は極小値です

$(- 1, 2)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

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