微分積分例

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ を展開します。

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

ステップ 2.5

$\frac{x}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{x \ln (x)}{2}$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x \ln (x)}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 3.2.5.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

ステップ 3.2.6

簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

ステップ 3.2.6.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

ステップ 3.2.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.6.4

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (x)$ に書き換えます。

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

ステップ 5.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (x)$ を簡約します。

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ と ${\sqrt{x}}^{x}$ をまとめます。

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

ステップ 5.4

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

微分積分 例

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