基礎数学例

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \div \frac{4 a + 5}{a^{2} - 8 a + 16}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$16 a^{2}$ を ${(4 a)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 2.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$40 a = 2 \cdot (4 a) \cdot 5$

ステップ 2.4

多項式を書き換えます。

$\frac{{(4 a)}^{2} + 2 \cdot (4 a) \cdot 5 + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 2.5

$a = 4 a$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 10$ を $- 10 a$ で因数分解します。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 (a) - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3.1.2

$- 10$ を $2$ プラス $- 12$ に書き換える

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + (2 - 12) a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + 2 a - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a^{2} + 2 a) - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{a (3 a + 2) - 4 (3 a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 3.3

最大公約数 $3 a + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$4 a + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$4 a + 5$ を ${(4 a + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)} (a^{2} - 8 a + 16)$

ステップ 4.2

$\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)}$ に $a^{2} - 8 a + 16$ をかけます。

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 16)}{(3 a + 2) (a - 4)}$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 a = 2 \cdot a \cdot 4$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

ステップ 5.4

$a = a$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)}$

ステップ 6

${(a - 4)}^{2}$ と $a - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$a - 4$ を $(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(3 a + 2) (a - 4)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$a - 4$ を $(3 a + 2) (a - 4)$ で因数分解します。

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(4 a + 5) (a - 4)}{3 a + 2}$

基礎数学 例

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