基礎数学例

${((a^{- 1} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${((\frac{1}{a} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

ステップ 1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - b^{- 1}))}^{- 1}$

ステップ 1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

${(\frac{1}{a} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b})$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{a} (- \frac{1}{b})$ と $\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a}$ について因数を並べ替えます。

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.1.2

$- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ と $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ をたし算します。

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + 0 + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ と $0$ をたし算します。

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

$\frac{1}{a}$ に $\frac{1}{a}$ をかけます。

${(\frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2.1.2

$a$ を $1$ 乗します。

${(\frac{1}{a^{1} a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2.1.3

$a$ を $1$ 乗します。

${(\frac{1}{a^{1} a^{1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{1}{a^{1 + 1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3

$- \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

$\frac{1}{b}$ に $\frac{1}{b}$ をかけます。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b \cdot b})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3.2

$b$ を $1$ 乗します。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3.3

$b$ を $1$ 乗します。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b^{1}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1 + 1}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}})}^{- 1}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

ステップ 5.2

$\frac{1^{2}}{a^{2}}$ を ${(\frac{1}{a})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{b^{2}}}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{b^{2}}$ を ${(\frac{1}{b})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - {(\frac{1}{b})}^{2}}$

ステップ 5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{a}$ であり、 $b = \frac{1}{b}$ です。

$\frac{1}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.5

$\frac{1}{a}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b}{b}$ を掛けます。

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{b}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a}{a}$ を掛けます。

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $a b$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.7.1

$\frac{1}{a}$ に $\frac{b}{b}$ をかけます。

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.7.2

$\frac{1}{b}$ に $\frac{a}{a}$ をかけます。

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{b a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.7.3

$b a$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{a b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.9

$\frac{1}{a}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b}{b}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b})}$

ステップ 5.10

$- \frac{1}{b}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a}{a}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

ステップ 5.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $a b$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.11.1

$\frac{1}{a}$ に $\frac{b}{b}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

ステップ 5.11.2

$\frac{1}{b}$ に $\frac{a}{a}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{b a})}$

ステップ 5.11.3

$b a$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{a b})}$

ステップ 5.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} \cdot \frac{b - a}{a b}}$

ステップ 6

$\frac{b + a}{a b}$ に $\frac{b - a}{a b}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a b (a b)}}$

ステップ 7

分母を簡約します。

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ステップ 7.1

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a b \cdot b}}$

ステップ 7.2

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a^{1} b \cdot b}}$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1 + 1} b \cdot b}}$

ステップ 7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b \cdot b}}$

ステップ 7.5

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b)}}$

ステップ 7.6

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b^{1})}}$

ステップ 7.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{1 + 1}}}$

ステップ 7.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{2}}}$

ステップ 8

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$

ステップ 9

$\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$

基礎数学 例

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