基礎数学例

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ に $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ に $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{35} - 3 \sqrt{35} - {\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.1.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 5^{1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{3 \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.3

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{15 + \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.5

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{7} (3 \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.6.2

$7$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

ステップ 4.1.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7 \cdot 7}}{38}$

ステップ 4.1.8

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{49}}{38}$

ステップ 4.1.9

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7^{2}}}{38}$

ステップ 4.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + 7}{38}$

ステップ 4.2

$15$ と $7$ をたし算します。

$\frac{22 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35}}{38}$

ステップ 4.3

$\sqrt{35}$ と $3 \sqrt{35}$ をたし算します。

$\frac{22 + 4 \sqrt{35}}{38}$

ステップ 5

$22 + 4 \sqrt{35}$ と $38$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$\frac{2 (11) + 4 \sqrt{35}}{38}$

ステップ 5.2

$2$ を $4 \sqrt{35}$ で因数分解します。

$\frac{2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})}{38}$

ステップ 5.3

$2$ を $2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})$ で因数分解します。

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{38}$

ステップ 5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$2$ を $38$ で因数分解します。

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

10進法形式：

$1.20169260 \dots$

基礎数学 例

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