基礎数学例

$\frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $a^{2} + 3 a - 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

ステップ 1.3

$a - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a + 4}$

ステップ 2

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 4}{a + 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4}$

ステップ 3

$\frac{1}{a + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ に $\frac{a + 4}{a + 4}$ をかけます。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{a + 4}$ に $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ をかけます。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

ステップ 4.3

$(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

ステップ 4.4

$(a + 4) ((a + 1) (a - 1))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a + 4 + (a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(a + 1) (a - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 4 + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{a + 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1 a$ を $- a$ に書き換えます。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.1.4

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.2

$- a$ と $a$ をたし算します。

$\frac{a + 4 + a^{2} + 0 - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.2.3

$a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.3

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{a + a^{2} + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{a^{2} + a + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

基礎数学 例

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