基礎数学例

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$z$ に $1$ をかけます。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ を $- z$ で因数分解します。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.1.4

$z$ に $1$ をかけます。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 3.3

最大公約数 $2 z + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 4

$z^{2} + z + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$z^{2} + z + 1$ を $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

ステップ 5

$z - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

ステップ 6

$\frac{1}{2 z + 1}$ に $2 z^{2} + 9 z + 4$ をかけます。

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ で和が $b = 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$9$ を $9 z$ で因数分解します。

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7.1.2

$9$ を $1$ プラス $8$ に書き換える

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7.1.4

$z$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

ステップ 7.3

最大公約数 $2 z + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

ステップ 8

$2 z + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

ステップ 8.2

$z + 4$ を $1$ で割ります。

$z + 4$

基礎数学 例

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