基礎数学例

$\frac{k^{2} - 2 k - 35}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $k^{2} - 2 k - 35$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 35$ で、その和が $- 2$ です。

$- 7, 5$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

ステップ 2

$8$ と $15$ をたし算します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$k$ を $k^{3} - 9 k$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$k$ を $k^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} - 9 k}{k^{3} - 27}$

ステップ 3.1.2

$k$ を $- 9 k$ で因数分解します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k \cdot - 9}{k^{3} - 27}$

ステップ 3.1.3

$k$ を $k \cdot k^{2} + k \cdot - 9$ で因数分解します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 9)}{k^{3} - 27}$

ステップ 3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 3^{2})}{k^{3} - 27}$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = k$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 27}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 3^{3}}$

ステップ 4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = k$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + k \cdot 3 + 3^{2})}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $k$ の左に移動させます。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 \cdot k + 3^{2})}$

ステップ 4.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$k - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$

ステップ 5.2

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23}$ に $\frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$ をかけます。

$\frac{(k - 7) (k + 5) (k (k + 3))}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$

ステップ 5.3

$\frac{(k - 7) (k + 5) k (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{k (k - 7) (k + 5) (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$

基礎数学 例

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