基礎数学例

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 1$ を $- k$ で因数分解します。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - (k) - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.1.1.2

$- 1$ を $2$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + (2 - 3) k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + 2 k - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(2 k^{2} + 2 k) - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k (k + 1) - 3 (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $k + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.2

$k + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

ステップ 2

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{k + 2}{k + 2}$ を掛けます。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

ステップ 3

$- \frac{2 k - 3}{k + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ を掛けます。

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ に $\frac{k + 2}{k + 2}$ をかけます。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

ステップ 4.2

$\frac{2 k - 3}{k + 2}$ に $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ をかけます。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

ステップ 4.3

$(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

ステップ 4.4

$(k + 2) ((k + 1) (k - 1))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{k^{2} (k + 2) - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.2

指数を足して $k^{2}$ に $k$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$k^{2}$ に $k$ をかけます。

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ステップ 6.2.1.1

$k$ を $1$ 乗します。

$\frac{k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{k^{3} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.3

$2$ を $k^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{k^{3} + 2 \cdot k^{2} - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- (2 k) - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.6

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.7

分配法則（FOIL法）を使って $(k + 1) (k - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k (k - 1) + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1.1

$k$ に $k$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.1.2

$- 1$ を $k$ の左に移動させます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1 \cdot k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.1.3

$- 1 k$ を $- k$ に書き換えます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.1.4

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.2

$- k$ と $k$ をたし算します。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + 0 - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.8.3

$k^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 k + 3) (k^{2} - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k (k^{2} - 1) + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

指数を足して $k$ に $k^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1.1

$k^{2}$ を移動させます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10.1.2

$k^{2}$ に $k$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1.2.1

$k$ を $1$ 乗します。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k^{1}) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2 + 1} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.10.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.11

$k^{3}$ から $2 k^{3}$ を引きます。

$\frac{- k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 6.12

$2 k^{2}$ と $3 k^{2}$ をたし算します。

$\frac{- k^{3} + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ を $- k^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3}) + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $5 k^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3}) - (- 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (k^{3}) - (- 5 k^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.4

$- 1$ を $2 k$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k)$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.6

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.7

$- 1$ を $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ を $- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

ステップ 7.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

基礎数学 例

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