基礎数学例

$\frac{p^{2} - 6 p + 9}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{p^{2} - 6 p + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 p = 2 \cdot p \cdot 3$

ステップ 1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{p^{2} - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 1.4

$a = p$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 22 = - 44$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- 7$ を $- 7 p$ で因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 (p) - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2.1.2

$- 7$ を $4$ プラス $- 11$ に書き換える

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + (4 - 11) p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + 4 p - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(2 p^{2} + 4 p) - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p (p + 2) - 11 (p + 2)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 2.3

最大公約数 $p + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $p^{2} - 6 p - 16$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 16$ で、その和が $- 6$ です。

$- 8, 2$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 8$ を $- 8 p$ で因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 (p) - 3}$

ステップ 4.1.2

$- 8$ を $1$ プラス $- 9$ に書き換える

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + (1 - 9) p - 3}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + 1 p - 9 p - 3}$

ステップ 4.1.4

$p$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + p - 9 p - 3}$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p^{2} + p) - 9 p - 3}$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{p (3 p + 1) - 3 (3 p + 1)}$

ステップ 4.3

最大公約数 $3 p + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p + 1) (p - 3)}$

ステップ 5

まとめる。

$\frac{{(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

ステップ 6

${(p - 3)}^{2}$ と $p - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$p - 3$ を ${(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))$ で因数分解します。

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$p - 3$ を $(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))$ で因数分解します。

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

ステップ 7

$p + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(p - 3) (p - 8)}{(2 p - 11) (3 p + 1)}$

基礎数学 例

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