基礎数学例

$\frac{y^{3} - 27}{y^{3} + 27} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} - 3 y + 9}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{y^{3} - 27}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{y^{3} - 3^{3}}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + y \cdot 3 + 3^{2})}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 \cdot y + 3^{2})}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 2.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y^{3} + 3^{3}} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - y \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3 y + 3^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 3.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3 y + 9)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$y^{2} - 3 y + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$y^{2} - 3 y + 9$ を $(y + 3) (y^{2} - 3 y + 9)$ で因数分解します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y^{2} - 3 y + 9) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y^{2} - 3 y + 9) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y + 3} \cdot \frac{1}{y^{2} - 9}$

ステップ 4.2

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y + 3}$ に $\frac{1}{y^{2} - 9}$ をかけます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 9)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3^{2})}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 5.3

指数をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$y + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1} (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 5.3.2

$y + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1} {(y + 3)}^{1} (y - 3)}$

ステップ 5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1 + 1} (y - 3)}$

ステップ 5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{2} (y - 3)}$

ステップ 6

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{2} (y - 3)}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} + 3 y + 9}{{(y + 3)}^{2}}$

基礎数学 例

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