基礎数学例

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \div \frac{35 n^{2} + 34 n - 21}{n^{2} - 8 n + 7}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を $75 n^{2} - 147$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $75 n^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (25 n^{2}) - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2.1.2

$3$ を $- 147$ で因数分解します。

$\frac{3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2.1.3

$3$ を $3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)$ で因数分解します。

$\frac{3 (25 n^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2.2

$25 n^{2}$ を ${(5 n)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2.3

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 7^{2})}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5 n$ であり、 $b = 7$ です。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot 7 = 35$ で和が $b = - 12$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 12$ を $- 12 n$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 (n) + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3.1.2

$- 12$ を $- 5$ プラス $- 7$ に書き換える

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} + (- 5 - 7) n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 5 n - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(5 n^{2} - 5 n) - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n (n - 1) - 7 (n - 1)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 3.3

最大公約数 $n - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 4

$5 n - 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 5

たすき掛けを利用して $n^{2} - 8 n + 7$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $7$ で、その和が $- 8$ です。

$- 7, - 1$

ステップ 5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

ステップ 6

群による因数分解。

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ステップ 6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 35 \cdot - 21 = - 735$ で和が $b = 34$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$34$ を $34 n$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 (n) - 21}$

ステップ 6.1.2

$34$ を $- 15$ プラス $49$ に書き換える

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + (- 15 + 49) n - 21}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} - 15 n + 49 n - 21}$

ステップ 6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(35 n^{2} - 15 n) + 49 n - 21}$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{5 n (7 n - 3) + 7 (7 n - 3)}$

ステップ 6.3

最大公約数 $7 n - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

ステップ 7

$5 n + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$5 n + 7$ を $3 (5 n + 7)$ で因数分解します。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

ステップ 7.2

$5 n + 7$ を $(7 n - 3) (5 n + 7)$ で因数分解します。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

ステップ 7.3

共通因数を約分します。

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

ステップ 7.4

式を書き換えます。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{7 n - 3}$

ステップ 8

$n - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$n - 1$ を $(n - 7) (n - 1)$ で因数分解します。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

ステップ 8.3

式を書き換えます。

$3 \frac{n - 7}{7 n - 3}$

ステップ 9

$3$ と $\frac{n - 7}{7 n - 3}$ をまとめます。

$\frac{3 (n - 7)}{7 n - 3}$

基礎数学 例

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