基礎数学例

$\frac{a}{1 - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a}{1^{2} - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = a$ です。

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

ステップ 2

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ を掛けます。

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

ステップ 3

$\frac{a}{1 + a^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ を掛けます。

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ に $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ をかけます。

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

ステップ 4.2

$\frac{a}{1 + a^{2}}$ に $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ をかけます。

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

ステップ 4.3

$(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

ステップ 4.4

$(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$a$ を $a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))$ で因数分解します。

$\frac{a (1 + a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.2

$u = 1$ とします。 $u$ を $1$ に代入します。

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ステップ 6.2.1

$a^{2}$ から $a^{2}$ を引きます。

$\frac{a (u + u^{2} + 0)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.2.2

$u + u^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{a (u + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.3

$u$ を $u + u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{a (u^{1} + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.3.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{a (u \cdot 1 + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.3.3

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{a (u \cdot 1 + u \cdot u)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.3.4

$u$ を $u \cdot 1 + u \cdot u$ で因数分解します。

$\frac{a (u (1 + u))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.4

$u$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$\frac{a (1 (1 + 1))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a (1 \cdot 2)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{a \cdot 2}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

ステップ 7

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{2 a}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

基礎数学 例

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