基礎数学例

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 25} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

ステップ 1.1.4

$a = a$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $a^{2} + 6 a + 5$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $6$ です。

$1, 5$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

ステップ 2

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 1}{a + 1}$ を掛けます。

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

ステップ 3

$- \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 5}{a + 5}$ を掛けます。

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ に $\frac{a + 1}{a + 1}$ をかけます。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

ステップ 4.2

$\frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ に $\frac{a + 5}{a + 5}$ をかけます。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) (a + 5) (a + 5)}$

ステップ 4.3

$a + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} (a + 5))}$

ステップ 4.4

$a + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{2}}$

ステップ 4.7

$(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a (a + 1) - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.3

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{a^{2} + a + (- 1 \cdot 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a + (- 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.6

$- - a$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + 1 a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.6.2

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 + a) (a + 5)$ を展開します。

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ステップ 6.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a^{2} + a - 4 (a + 5) + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.8.1.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.8.1.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.8.1.3

$5$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + 5 a}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.8.2

$- 4 a$ と $5 a$ をたし算します。

$\frac{a^{2} + a + a - 20 + a^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.9

$a^{2}$ と $a^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 a^{2} + a + a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.10

$a$ と $a$ をたし算します。

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.11

$2$ を $2 a^{2} + 2 a - 20$ で因数分解します。

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ステップ 6.11.1

$2$ を $2 a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.11.2

$2$ を $2 a$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (a) - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.11.3

$2$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.11.4

$2$ を $2 (a^{2}) + 2 a$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

ステップ 6.11.5

$2$ を $2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{2} + a - 10)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

基礎数学 例

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