基礎数学例

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{a^{2} + a}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a^{2} + a}$

ステップ 1.2

$a$ を $a^{2} + a$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$a$ を $a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a}$

ステップ 1.2.2

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a^{1}}$

ステップ 1.2.3

$a$ を $a^{1}$ で因数分解します。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 1}$

ステップ 1.2.4

$a$ を $a \cdot a + a \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

ステップ 2

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a}{a}$ を掛けます。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)}$

ステップ 3

$- \frac{1}{a (a + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a - 1}{a - 1}$ を掛けます。

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + 1) (a - 1) a$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ に $\frac{a}{a}$ をかけます。

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{a (a + 1)}$ に $\frac{a - 1}{a - 1}$ をかけます。

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 4.3

$(a + 1) (a - 1) a$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(a + 3) a}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(a + 3) a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a \cdot a + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{a^{2} + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a^{2} + 3 a - a - - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.5

$3 a$ から $a$ を引きます。

$\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.6

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a^{2} + 2 a + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.6.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

ステップ 6.6.3

多項式を書き換えます。

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 6.6.4

$a = a$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 7

${(a + 1)}^{2}$ と $a + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$a + 1$ を ${(a + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$a + 1$ を $a (a + 1) (a - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$

基礎数学 例

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