基礎数学例

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{5}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

ステップ 1.1.4

$a = a$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

ステップ 2

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a - 1}{a - 1}$ を掛けます。

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

ステップ 3

$\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 1}{a + 1}$ を掛けます。

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a - 1) {(a + 1)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ に $\frac{a - 1}{a - 1}$ をかけます。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

ステップ 4.2

$\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ に $\frac{a + 1}{a + 1}$ をかけます。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) (a + 1)}$

ステップ 4.3

$a + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} (a + 1) (a - 1)}$

ステップ 4.4

$a + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1} (a - 1)}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1 + 1} (a - 1)}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 (a - 1) + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 a + 5 \cdot - 1 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 a - 5 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8 \cdot 1}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6.4

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6.5

$5 a$ と $8 a$ をたし算します。

$\frac{13 a - 5 + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

ステップ 6.6

$- 5$ と $8$ をたし算します。

$\frac{13 a + 3}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

基礎数学 例

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