基礎数学例

$\frac{5 r}{r^{2} + 2 r - 35} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $r^{2} + 2 r - 35$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 35$ で、その和が $2$ です。

$- 5, 7$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 7^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 7$ です。

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

ステップ 2

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r - 7}{r - 7}$ を掛けます。

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

ステップ 3

$- \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r - 5}{r - 5}$ を掛けます。

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ に $\frac{r - 7}{r - 7}$ をかけます。

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

ステップ 4.2

$\frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ に $\frac{r - 5}{r - 5}$ をかけます。

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

ステップ 4.3

$(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

ステップ 4.4

$(r + 7) (r - 7) (r - 5)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 r (r - 7) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$r$ を $5 r (r - 7) - r (r - 5)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$r$ を $5 r (r - 7)$ で因数分解します。

$\frac{r (5 (r - 7)) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.1.2

$r$ を $- r (r - 5)$ で因数分解します。

$\frac{r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.1.3

$r$ を $r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))$ で因数分解します。

$\frac{r (5 (r - 7) - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{r (5 r + 5 \cdot - 7 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.3

$5$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{r (5 r - 35 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{r (5 r - 35 - r - - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.5

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{r (5 r - 35 - r + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.6

$5 r$ から $r$ を引きます。

$\frac{r (4 r - 35 + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.7

$- 35$ と $5$ をたし算します。

$\frac{r (4 r - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.8

$2$ を $4 r - 30$ で因数分解します。

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ステップ 6.8.1

$2$ を $4 r$ で因数分解します。

$\frac{r (2 (2 r) - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.8.2

$2$ を $- 30$ で因数分解します。

$\frac{r (2 (2 r) + 2 (- 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 6.8.3

$2$ を $2 (2 r) + 2 (- 15)$ で因数分解します。

$\frac{r (2 (2 r - 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

$\frac{r \cdot 2 (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

ステップ 7

$2$ を $r$ の左に移動させます。

$\frac{2 r (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

基礎数学 例

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