基礎数学例

$\frac{4}{a^{2} - 8 a + 15} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 25}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $a^{2} - 8 a + 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 25}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 5^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = a$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a - 5}{a - 5}$ を掛けます。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} \cdot \frac{a - 5}{a - 5} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a - 3}{a - 3}$ を掛けます。

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} \cdot \frac{a - 5}{a - 5} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a - 3) {(a - 5)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)}$ に $\frac{a - 5}{a - 5}$ をかけます。

$\frac{4 (a - 5)}{(a - 5) (a - 3) (a - 5)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4.2

$a - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1} (a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4.3

$a - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1} {(a - 5)}^{1} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1 + 1} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

ステップ 4.6

$\frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$ に $\frac{a - 3}{a - 3}$ をかけます。

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)} - \frac{3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (a - 5) - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 a + 4 \cdot - 5 - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4 a - 20 - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 a - 20 - 3 a - 3 \cdot - 3}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6.4

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 a - 20 - 3 a + 9}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6.5

$4 a$ から $3 a$ を引きます。

$\frac{a - 20 + 9}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

ステップ 6.6

$- 20$ と $9$ をたし算します。

$\frac{a - 11}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

基礎数学 例

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