基礎数学例

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

ステップ 1

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{6}$ を単一根にまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 2

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.4

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.5

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.8

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.9.6.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

ステップ 4.2

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.3

$\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5

$2 - 2 i$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5.2

$2$ を $- 2 i$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- i)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 6.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

ステップ 8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

ステップ 8.2

式を書き換えます。

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

ステップ 9

$\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ をかけます。

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ をかけます。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

ステップ 10.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 10.3

簡約します。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 10.4

分配則を当てはめます。

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 10.5

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 10.6

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ と $i$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

ステップ 10.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

ステップ 11

各項を簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

ステップ 11.2

$- (- i \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

ステップ 11.2.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

ステップ 11.4

$\sqrt{2} i i$ を掛けます。

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ステップ 11.4.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

ステップ 11.4.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

ステップ 11.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

ステップ 11.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

ステップ 11.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

ステップ 11.5.2

$- 1$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

ステップ 11.5.3

$- 1 \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

ステップ 12.2

$- \sqrt{2} i$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

ステップ 12.3

$- i \sqrt{2}$ から $i \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

ステップ 12.4

$- 2 i \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 12.5

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.5.1

$2$ を $- 2 i \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

ステップ 12.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

ステップ 12.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 12.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$

基礎数学 例

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