基礎数学例

$\frac{b}{b^{2} + 18 b + 81} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{b}{b^{2} + 18 b + 9^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 b = 2 \cdot b \cdot 9$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{b}{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 9 + 9^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

ステップ 1.1.4

$a = b$ と $b = 9$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $b^{2} + 17 b + 72$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $72$ で、その和が $17$ です。

$8, 9$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$

ステップ 2

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b + 8}{b + 8}$ を掛けます。

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} \cdot \frac{b + 8}{b + 8} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$

ステップ 3

$\frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b + 9}{b + 9}$ を掛けます。

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} \cdot \frac{b + 8}{b + 8} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)} \cdot \frac{b + 9}{b + 9}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(b + 8) {(b + 9)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}}$ に $\frac{b + 8}{b + 8}$ をかけます。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)} \cdot \frac{b + 9}{b + 9}$

ステップ 4.2

$\frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$ に $\frac{b + 9}{b + 9}$ をかけます。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) (b + 9) (b + 9)}$

ステップ 4.3

$b + 9$ を $1$ 乗します。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) ({(b + 9)}^{1} (b + 9))}$

ステップ 4.4

$b + 9$ を $1$ 乗します。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) ({(b + 9)}^{1} {(b + 9)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) {(b + 9)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) {(b + 9)}^{2}}$

ステップ 4.7

$(b + 8) {(b + 9)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b (b + 8) + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{b \cdot b + b \cdot 8 + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{b^{2} + b \cdot 8 + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6.3

$8$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{b^{2} + 8 \cdot b + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{b^{2} + 8 b + 9 b + 9 \cdot 9}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6.5

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{b^{2} + 8 b + 9 b + 81}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

ステップ 6.6

$8 b$ と $9 b$ をたし算します。

$\frac{b^{2} + 17 b + 81}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

基礎数学 例

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