基礎数学例

$\frac{b - 2 a}{b^{2} + 4 b a + 4 a^{2}} \div \frac{b^{2} - 4 a^{2}}{b^{2} - 7 b a + 10 a^{2}}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{b - 2 a}{b^{2} + 4 b a + 4 a^{2}} \cdot \frac{b^{2} - 7 b a + 10 a^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$4 a^{2}$ を ${(2 a)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{b - 2 a}{b^{2} + 4 b a + {(2 a)}^{2}} \cdot \frac{b^{2} - 7 b a + 10 a^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 b a = 2 \cdot b \cdot (2 a)$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{b - 2 a}{b^{2} + 2 \cdot b \cdot (2 a) + {(2 a)}^{2}} \cdot \frac{b^{2} - 7 b a + 10 a^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 2.4

$a = b$ と $b = 2 a$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{b^{2} - 7 b a + 10 a^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 10 \cdot 1 = 10$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} + b^{2} - 7 a b}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.1.2

$b^{2}$ と $- 7 a b$ を並べ替えます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} - 7 a b + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.1.3

$- 7$ を $- 7 a b$ で因数分解します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} - 7 (a b) + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.1.4

$- 7$ を $- 2$ プラス $- 5$ に書き換える

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} + (- 2 - 5) (a b) + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} - 2 (a b) - 5 (a b) + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.1.6

括弧を移動させます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{10 a^{2} - 2 a b - 5 a b + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(10 a^{2} - 2 a b) - 5 a b + b^{2}}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{2 a (5 a - b) - b (5 a - b)}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 3.3

最大公約数 $5 a - b$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{b^{2} - 4 a^{2}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$4 a^{2}$ を ${(2 a)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{b^{2} - {(2 a)}^{2}}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = b$ であり、 $b = 2 a$ です。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{(b + 2 a) (b - (2 a))}$

ステップ 4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{(b + 2 a) (b - 2 a)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$b - 2 a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$b - 2 a$ を $(b + 2 a) (b - 2 a)$ で因数分解します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{(b - 2 a) (b + 2 a)}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{b - 2 a}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{(b - 2 a) (b + 2 a)}$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(b + 2 a)}^{2}} \cdot \frac{(5 a - b) (2 a - b)}{b + 2 a}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{{(b + 2 a)}^{2}}$ に $\frac{(5 a - b) (2 a - b)}{b + 2 a}$ をかけます。

$\frac{(5 a - b) (2 a - b)}{{(b + 2 a)}^{2} (b + 2 a)}$

ステップ 6

指数を足して ${(b + 2 a)}^{2}$ に $b + 2 a$ を掛けます。

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ステップ 6.1

${(b + 2 a)}^{2}$ に $b + 2 a$ をかけます。

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ステップ 6.1.1

$b + 2 a$ を $1$ 乗します。

$\frac{(5 a - b) (2 a - b)}{{(b + 2 a)}^{2} {(b + 2 a)}^{1}}$

ステップ 6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(5 a - b) (2 a - b)}{{(b + 2 a)}^{2 + 1}}$

ステップ 6.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(5 a - b) (2 a - b)}{{(b + 2 a)}^{3}}$

基礎数学 例

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