基礎数学例

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + x - 6 = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

最終解は $(x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 3$

ステップ 7

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 2, - 3$

$x = 7$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 2, - 3, 7$

ステップ 10

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 7 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{(- 6) - 7} \leq 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 1.\overline{846153}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $- 3 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 3 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 6}{(0) - 7} \leq 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $0.\overline{857142}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間 $2 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $2 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{(4) - 7} \leq 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 4.\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{{(10)}^{2} + 10 - 6}{(10) - 7} \leq 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $34.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$2 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$2 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $2 \leq x < 7$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 3 or 2 \leq x < 7$

区間記号：

$(- \infty, - 3] \cup [2, 7)$

ステップ 15

基礎数学 例

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