基礎数学例

$\frac{y + 7}{y^{2} - y - 12} - \frac{2}{y^{2} - 9}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - y - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{y^{2} - 9}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{y^{2} - 3^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y - 3}{y - 3}$ を掛けます。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$

ステップ 3

$- \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y - 4}{y - 4}$ を掛けます。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y - 4) (y + 3) (y - 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ に $\frac{y - 3}{y - 3}$ をかけます。

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y - 4) (y + 3) (y - 3)} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4}$

ステップ 4.2

$\frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$ に $\frac{y - 4}{y - 4}$ をかけます。

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y - 4) (y + 3) (y - 3)} - \frac{2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 4.3

$(y - 4) (y + 3) (y - 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)} - \frac{2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(y + 7) (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 7) (y - 3)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y (y - 3) + 7 (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 7 (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} + y \cdot - 3 + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2} - 3 \cdot y + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.2.1.3

$7$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 3 y + 7 y - 21 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.2.2

$- 3 y$ と $7 y$ をたし算します。

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 y - 2 \cdot - 4}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.4

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 y + 8}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.5

$4 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{y^{2} + 2 y - 21 + 8}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

ステップ 6.6

$- 21$ と $8$ をたし算します。

$\frac{y^{2} + 2 y - 13}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

基礎数学 例

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