基礎数学例

$\frac{z}{z^{2} - 64} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{z}{z^{2} - 8^{2}} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 8$ です。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$16 z = 2 \cdot z \cdot 8$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 8 + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 1.2.4

$a = z$ と $b = 8$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ に $\frac{z - 8}{z - 8}$ をかけます。

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 2.2

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ に $\frac{z - 8}{z - 8}$ をかけます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 2.3

$\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ に $\frac{z + 8}{z + 8}$ をかけます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} \cdot \frac{z + 8}{z + 8} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 2.4

$\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ に $\frac{z + 8}{z + 8}$ をかけます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{1}{z + 8}$

ステップ 2.5

$\frac{1}{z + 8}$ に $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - (\frac{1}{z + 8} \cdot \frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}})$

ステップ 2.6

$\frac{1}{z + 8}$ に $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

ステップ 2.7

$z - 8$ を $1$ 乗します。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} (z - 8))} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

ステップ 2.8

$z - 8$ を $1$ 乗します。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} {(z - 8)}^{1})} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

ステップ 2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{1 + 1}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

ステップ 2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{z (z - 8) + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.2

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{z^{2} + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.3

$- 8$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{z^{2} - 8 \cdot z + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 8 \cdot 8 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.5

$8$ に $8$ をかけます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.6

${(z - 8)}^{2}$ を $(z - 8) (z - 8)$ に書き換えます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - ((z - 8) (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.7

分配法則（FOIL法）を使って $(z - 8) (z - 8)$ を展開します。

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ステップ 4.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z (z - 8) - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.8.1.1

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.8.1.2

$- 8$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 \cdot z - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.8.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 z - 8 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.8.2

$- 8 z$ から $8 z$ を引きます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 16 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.9

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} - (- 16 z) - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.10

簡約します。

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ステップ 4.10.1

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 4.10.2

$- 1$ に $64$ をかけます。

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5

$z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1

$- 8 z$ と $8 z$ をたし算します。

$\frac{z^{2} + 0 + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5.2

$z^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{z^{2} + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5.3

$z^{2}$ から $z^{2}$ を引きます。

$\frac{0 + 64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5.4

$0$ と $64$ をたし算します。

$\frac{64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5.5

$64$ から $64$ を引きます。

$\frac{16 z + 0}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

ステップ 5.6

$16 z$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16 z}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

基礎数学 例

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