基礎数学例

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1.2

$4$ を $4 z - 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $4 z$ で因数分解します。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1.2.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1.2.3

$4$ を $4 (z) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $z^{2} + 6 z + 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $6$ です。

$2, 4$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

ステップ 2

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{z + 4}{z + 4}$ を掛けます。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

ステップ 3

$- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{z - 2}{z - 2}$ を掛けます。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ に $\frac{z + 4}{z + 4}$ をかけます。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

ステップ 4.2

$\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ に $\frac{z - 2}{z - 2}$ をかけます。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 4.3

$(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.2

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.3

$4$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.5

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 z + 4) (z - 2)$ を展開します。

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ステップ 6.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1.1.1

$z$ を移動させます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.7.1.1.2

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.7.1.2

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.7.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.7.2

$8 z$ と $4 z$ をたし算します。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.8

$z^{2}$ から $4 z^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 6.9

$4 z$ と $12 z$ をたし算します。

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- 3 z^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $16 z$ で因数分解します。

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.6

式を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ を $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

ステップ 7.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

基礎数学 例

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