基礎数学例

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

ステップ 1

方程式の両辺から $11 \cdot 10^{3 y}$ を引きます。

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

ステップ 2

$10^{6 y}$ を累乗法として書き換えます。

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

ステップ 3

$10^{3 y}$ を累乗法として書き換えます。

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

ステップ 4

$u$ を $10^{y}$ に代入します。

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

ステップ 5

$- 11$ に $u^{3}$ をかけます。

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$u^{6}$ を ${(u^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

ステップ 6.2.2

$u = u^{3}$ とします。 $u$ を $u^{3}$ に代入します。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3

群による因数分解。

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ステップ 6.2.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.2.3.1.1

$- 11$ を $- 11 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 11$ を $1$ プラス $- 12$ に書き換える

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.2.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

ステップ 6.2.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

ステップ 6.2.3.3

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

ステップ 6.2.4

$u$ のすべての発生を $u^{3}$ で置き換えます。

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

ステップ 6.4

$3 u^{3} + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$3 u^{3} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 u^{3} + 1 = 0$

ステップ 6.4.2

$u$ について $3 u^{3} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 u^{3} = - 1$

ステップ 6.4.2.2

$3 u^{3} = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$3 u^{3} = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$u^{3}$ を $1$ で割ります。

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

ステップ 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

ステップ 6.4.2.4

$\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.2.4.1

$- \frac{1}{3}$ を ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.2.4.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

ステップ 6.4.2.4.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

ステップ 6.4.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

ステップ 6.4.2.4.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

ステップ 6.4.2.4.4

$\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ に書き換えます。

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

ステップ 6.4.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

ステップ 6.4.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ をかけます。

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

ステップ 6.4.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ をかけます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

ステップ 6.4.2.4.7.2

$\sqrt[3]{3}$ を $1$ 乗します。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

ステップ 6.4.2.4.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

ステップ 6.4.2.4.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5

${\sqrt[3]{3}}^{3}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.2.4.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{3}$ を $3^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.4.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5.4.2

式を書き換えます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

ステップ 6.4.2.4.7.5.5

指数を求めます。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

ステップ 6.4.2.4.8

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.2.4.8.1

${\sqrt[3]{3}}^{2}$ を $\sqrt[3]{3^{2}}$ に書き換えます。

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

ステップ 6.4.2.4.8.2

$3$ を $2$ 乗します。

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

ステップ 6.5

$u^{3} - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$u^{3} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u^{3} - 4 = 0$

ステップ 6.5.2

$u$ について $u^{3} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u^{3} = 4$

ステップ 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

ステップ 6.6

最終解は $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

ステップ 7

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ を $u = 10^{y}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

ステップ 8

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ として書き換えます。

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

ステップ 8.2

方程式の両辺の底 $10$ 対数をとり、指数から変数を削除します。

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

ステップ 8.3

$\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 8.4

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ の解はありません

解がありません

ステップ 9

$\sqrt[3]{4}$ を $u = 10^{y}$ の中の $u$ に代入します。

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

ステップ 10

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ として書き換えます。

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

ステップ 10.2

方程式の両辺の底 $10$ 対数をとり、指数から変数を削除します。

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

ステップ 10.3

左辺を展開します。

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ステップ 10.3.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\log (10^{y})$ を展開します。

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

ステップ 10.3.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

ステップ 10.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

10進法形式：

$y = 0.20068666 \dots$

基礎数学 例

基礎数学例