基礎数学例

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

ステップ 1

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ として書き換えます。

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

ステップ 1.2

$r \cdot (R - H)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

ステップ 1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ を ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の法則を $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2.1.3

簡約します。

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.2.1.4

分配則を当てはめます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(r R - r H)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(r R - r H)}^{2}$ を $(r R - r H) (r R - r H)$ に書き換えます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(r R - r H) (r R - r H)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1.1

$r$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.2

指数を足して $R$ に $R$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.2.1

$R$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.2.2

$R$ に $R$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.4

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.1

$r$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.4.2

$r$ に $r$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.5

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$r$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$r$ に $r$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

ステップ 3.3.1.3.1.6

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.6.1

$r$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

ステップ 3.3.1.3.1.6.2

$r$ に $r$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

ステップ 3.3.1.3.1.7

指数を足して $H$ に $H$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.7.1

$H$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.3.1.7.2

$H$ に $H$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.3.1.8

$- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.2

$r^{2}$ に $1$ をかけます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2

$- r^{2} R H$ から $r^{2} H R$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.2.1

$R$ を移動させます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2.2

$- r^{2} H R$ から $r^{2} H R$ を引きます。

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

ステップ 4

$H$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$H$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $R^{2} H^{2}$ を引きます。

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

ステップ 4.3

$H$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $r^{2} R^{2}$ を引きます。

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

ステップ 4.3.2

$R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$R^{2} r^{2}$ と $- r^{2} R^{2}$ について因数を並べ替えます。

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

ステップ 4.3.2.2

$R^{2} r^{2}$ から $R^{2} r^{2}$ を引きます。

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

ステップ 4.4

$H$ を $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$H$ を $- 2 r^{2} H R$ で因数分解します。

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

ステップ 4.4.2

$H$ を $r^{2} H^{2}$ で因数分解します。

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

ステップ 4.4.3

$H$ を $- R^{2} H^{2}$ で因数分解します。

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

ステップ 4.4.4

$H$ を $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ で因数分解します。

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

ステップ 4.4.5

$H$ を $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ で因数分解します。

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

ステップ 4.6

$H$ が $0$ に等しいとします。

$H = 0$

ステップ 4.7

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ を $0$ に等しくし、 $H$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

ステップ 4.7.2

$H$ について $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

方程式の両辺に $2 r^{2} R$ を足します。

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.2

$H$ を $r^{2} H - R^{2} H$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.2.1

$H$ を $r^{2} H$ で因数分解します。

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.2.2

$H$ を $- R^{2} H$ で因数分解します。

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.2.3

$H$ を $H r^{2} + H (- R^{2})$ で因数分解します。

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = R$ です。

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

ステップ 4.7.2.4

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ の各項を $(r + R) (r - R)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.1

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ の各項を $(r + R) (r - R)$ で割ります。

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

ステップ 4.7.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.2.1

$r + R$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

ステップ 4.7.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

ステップ 4.7.2.4.2.2

$r - R$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

ステップ 4.7.2.4.2.2.2

$H$ を $1$ で割ります。

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

ステップ 4.8

最終解は $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ を真にするすべての値です。

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

基礎数学 例

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