基礎数学例

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

ステップ 2

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ を $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ に書き換えます。

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

ステップ 3

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ を $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ に書き換えます。

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

ステップ 4

$n$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

ステップ 4.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

ステップ 4.3

$n$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ を引きます。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

ステップ 4.3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

ステップ 4.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

ステップ 4.3.4

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ に $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ をかけます。

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

ステップ 4.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

ステップ 4.5

分数を削除するためにたすき掛けします。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

ステップ 4.6

$e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

ステップ 4.6.1.2

$2 (1 + 4^{n})$ に $1$ をかけます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

ステップ 4.6.2

分配則を当てはめます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

ステップ 4.6.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

ステップ 4.6.4

$2 \cdot 4^{n}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

ステップ 4.6.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

ステップ 4.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

ステップ 4.7

$n$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

方程式の両辺から $2^{1 + 2 n}$ を引きます。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.1.2

分配則を当てはめます。

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.2.1

指数を足して $2^{n}$ に $2^{n}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.1.2

$n$ と $n$ をたし算します。

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.2

$2^{n}$ に $1$ をかけます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.3

指数を足して $2^{- n}$ に $2^{n}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.3.2

$- n$ と $n$ をたし算します。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.4

$2^{0}$ を簡約します。

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.7.2.2.5

$2^{- n}$ に $1$ をかけます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

ステップ 4.8

$n$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

ステップ 4.8.2

$2$ から $1$ を引きます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

ステップ 4.9

$2^{1 + 2 n}$ を $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ に書き換えます。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

ステップ 4.10

$2^{2 n}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

ステップ 4.11

$2^{- n}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

ステップ 4.12

$2^{2 n}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

ステップ 4.13

括弧を削除します。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

ステップ 4.14

$u$ を $2^{n}$ に代入します。

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

ステップ 4.15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

ステップ 4.15.2

指数を求めます。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

ステップ 4.15.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

ステップ 4.16

$u^{2}$ から $2 u^{2}$ を引きます。

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

ステップ 4.17

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 1, u, 1$

ステップ 4.17.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.17.2

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.1

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ の各項に $u$ を掛けます。

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.2.1.1

指数を足して $u^{2}$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.1.2

$u$ に $u^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.2.1.1.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.3

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

ステップ 4.17.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

ステップ 4.17.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.2.3.1

$u$ に $1$ をかけます。

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

ステップ 4.17.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.1

方程式の両辺から $u$ を引きます。

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

ステップ 4.17.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.2.1

項を並べ替えます。

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

ステップ 4.17.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

ステップ 4.17.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

ステップ 4.17.3.2.3

最大公約数 $- u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

ステップ 4.17.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

ステップ 4.17.3.4

$- u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.4.1

$- u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- u + 1 = 0$

ステップ 4.17.3.4.2

$u$ について $- u + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- u = - 1$

ステップ 4.17.3.4.2.2

$- u = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.4.2.2.1

$- u = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.17.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.17.3.4.2.2.2.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.17.3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$u = 1$

ステップ 4.17.3.5

$u^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.5.1

$u^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u^{2} + 1 = 0$

ステップ 4.17.3.5.2

$u$ について $u^{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u^{2} = - 1$

ステップ 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 4.17.3.5.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \pm i$

ステップ 4.17.3.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.17.3.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = i$

ステップ 4.17.3.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - i$

ステップ 4.17.3.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = i, - i$

ステップ 4.17.3.6

最終解は $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 1, i, - i$

ステップ 4.18

$1$ を $u = 2^{n}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = 2^{n}$

ステップ 4.19

$1 = 2^{n}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

方程式を $2^{n} = 1$ として書き換えます。

$2^{n} = 1$

ステップ 4.19.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

ステップ 4.19.3

$n$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{n})$ を展開します。

$n \ln (2) = \ln (1)$

ステップ 4.19.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$n \ln (2) = 0$

ステップ 4.19.5

$n \ln (2) = 0$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.5.1

$n \ln (2) = 0$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

ステップ 4.19.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.5.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

ステップ 4.19.5.2.1.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

ステップ 4.19.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.5.3.1

$0$ を $\ln (2)$ で割ります。

$n = 0$

ステップ 4.20

$i$ を $u = 2^{n}$ の中の $u$ に代入します。

$i = 2^{n}$

ステップ 4.21

$i = 2^{n}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.1

方程式を $2^{n} = i$ として書き換えます。

$2^{n} = i$

ステップ 4.21.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

ステップ 4.21.3

$n$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{n})$ を展開します。

$n \ln (2) = \ln (i)$

ステップ 4.21.4

$n \ln (2) = \ln (i)$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.4.1

$n \ln (2) = \ln (i)$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

ステップ 4.21.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

ステップ 4.21.4.2.1.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

ステップ 4.22

$- i$ を $u = 2^{n}$ の中の $u$ に代入します。

$- i = 2^{n}$

ステップ 4.23

$- i = 2^{n}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.23.1

方程式を $2^{n} = - i$ として書き換えます。

$2^{n} = - i$

ステップ 4.23.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

ステップ 4.23.3

$\ln (- i)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.23.4

$2^{n} = - i$ の解はありません

解がありません

ステップ 4.24

方程式が真になるような解をリストします。

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

基礎数学 例

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