基礎数学例

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{a + 6}$ を ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ を $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ に書き換えます。

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

$\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1.1

$\sqrt{2 a}$ を $1$ 乗します。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.2

$\sqrt{2 a}$ を $1$ 乗します。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2

${\sqrt{2 a}}^{2}$ を $2 a$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 a}$ を ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.5

簡約します。

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$- 1$ を $\sqrt{2 a}$ の左に移動させます。

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.4

$- 1 \sqrt{2 a}$ を $- \sqrt{2 a}$ に書き換えます。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.5

$- 1 \sqrt{2 a}$ を $- \sqrt{2 a}$ に書き換えます。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

ステップ 2.3.1.3.2

$- \sqrt{2 a}$ から $\sqrt{2 a}$ を引きます。

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

ステップ 3

$- 2 \sqrt{2 a}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ として書き換えます。

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

ステップ 3.2

$- 2 \sqrt{2 a}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $2 a$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

ステップ 3.2.3

$a$ から $2 a$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

ステップ 3.2.4

$6$ から $1$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 a}$ を ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

負をくくり出します。

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.2

$2$ を $1$ 乗します。

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.6

$2$ と $1$ をたし算します。

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

積の法則を $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2

積の法則を $- 2^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.5

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.6

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.6.2.2

式を書き換えます。

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.8

${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.8.2.2

式を書き換えます。

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.9

簡約します。

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${(- a + 5)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

${(- a + 5)}^{2}$ を $(- a + 5) (- a + 5)$ に書き換えます。

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

ステップ 5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- a + 5) (- a + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

ステップ 5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

ステップ 5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.2.1

$a$ を移動させます。

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.4

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.7

$5$ に $5$ をかけます。

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

ステップ 5.3.1.3.2

$- 5 a$ から $5 a$ を引きます。

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

ステップ 6

$a$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$a$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

ステップ 6.2

$a$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $8 a$ を引きます。

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

ステップ 6.2.2

$- 10 a$ から $8 a$ を引きます。

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

ステップ 6.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.4

$a = 1$ 、 $b = - 18$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.3

$324$ から $100$ を引きます。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4

$224$ を $4^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.4.1

$16$ を $224$ で因数分解します。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

ステップ 6.5.3

$\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

ステップ 6.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

ステップ 7

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ が真にならない解を除外します。

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

10進法形式：

$a = 16.48331477 \dots$

基礎数学 例

基礎数学例