基礎数学例

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

ステップ 1

方程式を $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ として書き換えます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

ステップ 2

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

ステップ 2.2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

ステップ 2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt{11} + \sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{11} + \sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

ステップ 2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

ステップ 2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

ステップ 2.4

${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ を $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ に書き換えます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

ステップ 2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ を展開します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.2

$11$ に $11$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.3

$121$ を $11^{2}$ に書き換えます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.6

$11$ に $7$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.8

$7$ に $11$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

ステップ 2.6.1.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

ステップ 2.6.1.10

$7$ に $7$ をかけます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

ステップ 2.6.1.11

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

ステップ 2.6.1.12

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

ステップ 2.6.2

$11$ と $7$ をたし算します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

ステップ 2.6.3

$\sqrt{77}$ と $\sqrt{77}$ をたし算します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

ステップ 2.7

$18 + 2 \sqrt{77}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

ステップ 2.7.2

$2$ を $2 \sqrt{77}$ で因数分解します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

ステップ 2.7.3

$2$ を $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ で因数分解します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

ステップ 2.7.4

共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

ステップ 2.7.4.2

共通因数を約分します。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.7.4.3

式を書き換えます。

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺から $b \sqrt{7}$ を引きます。

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$

基礎数学 例

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