基礎数学例

$\cos (2 s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$(1 - 2 \sin^{2} (s)) \sin (s) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.3

$\sin (s)$ に $1$ をかけます。

$\sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.4

指数を足して $\sin^{2} (s)$ に $\sin (s)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.1

$\sin (s)$ を移動させます。

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.4.2

$\sin (s)$ に $\sin^{2} (s)$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$\sin (s)$ を $1$ 乗します。

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (s) - 2 {\sin (s)}^{1 + 2} + \sin (s) = 0$

ステップ 1.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\sin (s) - 2 \sin^{3} (s) + \sin (s) = 0$

ステップ 1.2

$\sin (s)$ と $\sin (s)$ をたし算します。

$2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s) = 0$

ステップ 2

$2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$2 \sin (s)$ を $2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$2 \sin (s)$ を $2 \sin (s)$ で因数分解します。

$2 \sin (s) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (s) = 0$

ステップ 2.1.2

$2 \sin (s)$ を $- 2 \sin^{3} (s)$ で因数分解します。

$2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s)) = 0$

ステップ 2.1.3

$2 \sin (s)$ を $2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s))$ で因数分解します。

$2 \sin (s) (1 - \sin^{2} (s)) = 0$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \sin (s) (1^{2} - \sin^{2} (s)) = 0$

ステップ 2.3

因数分解。

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ステップ 2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (s)$ です。

$2 \sin (s) ((1 + \sin (s)) (1 - \sin (s))) = 0$

ステップ 2.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (s) = 0$

$1 + \sin (s) = 0$

$1 - \sin (s) = 0$

ステップ 4

$\sin (s)$ を $0$ に等しくし、 $s$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (s)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (s) = 0$

ステップ 4.2

$s$ について $\sin (s) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $s$ を取り出します。

$s = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$s = 0$

ステップ 4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$s = π - 0$

ステップ 4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$s = π$

ステップ 4.2.5

$\sin (s)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\sin (s)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$s = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$1 + \sin (s)$ を $0$ に等しくし、 $s$ を解きます。

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ステップ 5.1

$1 + \sin (s)$ が $0$ に等しいとします。

$1 + \sin (s) = 0$

ステップ 5.2

$s$ について $1 + \sin (s) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (s) = - 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $s$ を取り出します。

$s = \arcsin (- 1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$s = - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 5.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$s = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.6

$\sin (s)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 5.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 5.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.7.5

新しい角をリストします。

$s = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.8

$\sin (s)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$s = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$1 - \sin (s)$ を $0$ に等しくし、 $s$ を解きます。

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ステップ 6.1

$1 - \sin (s)$ が $0$ に等しいとします。

$1 - \sin (s) = 0$

ステップ 6.2

$s$ について $1 - \sin (s) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (s) = - 1$

ステップ 6.2.2

$- \sin (s) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- \sin (s) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (s)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (s)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2.2

$\sin (s)$ を $1$ で割ります。

$\sin (s) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (s) = 1$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $s$ を取り出します。

$s = \arcsin (1)$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$s = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$s = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.6

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$s = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.6.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$s = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$s = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.6.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$s = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.2.6.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$s = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.7

$\sin (s)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\sin (s)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$s = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$ を真にするすべての値です。

$s = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$s = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

基礎数学 例

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