基礎数学例

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

ステップ 1

方程式を $r^{3} = - \frac{1}{27}$ として書き換えます。

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

ステップ 2

方程式の両辺に $\frac{1}{27}$ を足します。

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

ステップ 3.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

ステップ 3.3

$\frac{1^{3}}{3^{3}}$ を ${(\frac{1}{3})}^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

ステップ 3.4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = \frac{1}{3}$ です。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $r$ をまとめます。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

ステップ 3.5.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

ステップ 3.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

ステップ 3.5.4

$3$ を $2$ 乗します。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

ステップ 5

$r + \frac{1}{3}$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 5.1

$r + \frac{1}{3}$ が $0$ に等しいとします。

$r + \frac{1}{3} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$r = - \frac{1}{3}$

ステップ 6

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 6.1

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

ステップ 6.2

$r$ について $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

両辺に最小公分母 $9$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.2.1.1

$- \frac{r}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.1.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.1.3

共通因数を約分します。

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.1.4

式を書き換えます。

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.3

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 6.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

ステップ 6.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.3

$a = 9$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4

簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.2.2

$- 36$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.4.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 6.2.4.3

$\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7

最終解は $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

基礎数学 例

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