基礎数学例

$2 = (54) r^{3}$

ステップ 1

方程式を $54 r^{3} = 2$ として書き換えます。

$54 r^{3} = 2$

ステップ 2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$54 r^{3} - 2 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$2$ を $54 r^{3} - 2$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$2$ を $54 r^{3}$ で因数分解します。

$2 (27 r^{3}) - 2 = 0$

ステップ 3.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (27 r^{3}) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 3.1.3

$2$ を $2 (27 r^{3}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (27 r^{3} - 1) = 0$

ステップ 3.2

$27 r^{3}$ を ${(3 r)}^{3}$ に書き換えます。

$2 ({(3 r)}^{3} - 1) = 0$

ステップ 3.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$2 ({(3 r)}^{3} - 1^{3}) = 0$

ステップ 3.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 r$ であり、 $b = 1$ です。

$2 ((3 r - 1) ({(3 r)}^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 3.5

因数分解。

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ステップ 3.5.1

簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

積の法則を $3 r$ に当てはめます。

$2 ((3 r - 1) (3^{2} r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 3.5.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 3.5.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1^{2})) = 0$

ステップ 3.5.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1)) = 0$

ステップ 3.5.2

不要な括弧を削除します。

$2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 r - 1 = 0$

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

ステップ 5

$3 r - 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 r - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 r - 1 = 0$

ステップ 5.2

$r$ について $3 r - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 r = 1$

ステップ 5.2.2

$3 r = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 r = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 6

$9 r^{2} + 3 r + 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 6.1

$9 r^{2} + 3 r + 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

ステップ 6.2

$r$ について $9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 9$ 、 $b = 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 36$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7

最終解は $2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

基礎数学 例

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