基礎数学例

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

ステップ 1

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ の各項を $b^{r - p}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ の各項を $b^{r - p}$ で割ります。

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$b^{r - p}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

ステップ 1.2.1.2

$a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ を $1$ で割ります。

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

ステップ 2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

ステップ 3

左辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ を $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ に書き換えます。

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

ステップ 3.2

$q - r$ を対数の外に移動させて、 $\ln (a^{q - r})$ を展開します。

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

ステップ 3.3

$p - q$ を対数の外に移動させて、 $\ln (c^{p - q})$ を展開します。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

ステップ 4

右辺を展開します。

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ステップ 4.1

$\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ を $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ に書き換えます。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

ステップ 4.2

$r - p$ を対数の外に移動させて、 $\ln (b^{r - p})$ を展開します。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

ステップ 4.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

ステップ 4.4

$0$ から $(r - p) \ln (b)$ を引きます。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

ステップ 4.5

括弧を削除します。

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

ステップ 5

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$- (r - p) \ln (b)$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

ステップ 6.1.2

$- - p$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

ステップ 6.1.2.2

$p$ に $1$ をかけます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

ステップ 7

左辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$- r \ln (a)$ を移動させます。

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

ステップ 7.2

$q \ln (a)$ と $p \ln (c)$ を並べ替えます。

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

ステップ 8

$- r \ln (b)$ と $p \ln (b)$ を並べ替えます。

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 9

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

ステップ 10

$q$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺から $p \ln (c)$ を引きます。

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $r \ln (a)$ を足します。

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

ステップ 10.3

方程式の両辺に $p \ln (b)$ を足します。

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

ステップ 10.4

方程式の両辺から $r \ln (b)$ を引きます。

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 11

$q$ を $q \ln (a) - q \ln (c)$ で因数分解します。

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ステップ 11.1

$q$ を $q \ln (a)$ で因数分解します。

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 11.2

$q$ を $- q \ln (c)$ で因数分解します。

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 11.3

$q$ を $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ で因数分解します。

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 12

$- 1 \ln (c)$ を $- \ln (c)$ に書き換えます。

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

ステップ 13

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ の各項を $\ln (a) - \ln (c)$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.1

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ の各項を $\ln (a) - \ln (c)$ で割ります。

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\ln (a) - \ln (c)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 13.2.1.2

$q$ を $1$ で割ります。

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2

項を簡約します。

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ステップ 13.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.4

$- 1$ を $- p \ln (c)$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.5

$- 1$ を $r \ln (a)$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.6

$- 1$ を $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.7

$- 1$ を $p \ln (b)$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.8

$- 1$ を $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.9

$- 1$ を $- r \ln (b)$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.10

$- 1$ を $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ で因数分解します。

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.11

式を簡約します。

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ステップ 13.3.2.11.1

$- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ を $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ に書き換えます。

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

ステップ 13.3.2.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

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