基礎数学例

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}}^{4} = {(- y)}^{4}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}$ を ${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- y)}^{4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

ステップ 2.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 y^{2} - 3)}^{1} = {(- y)}^{4}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$4 y^{2} - 3 = {(- y)}^{4}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${(- y)}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

積の法則を $- y$ に当てはめます。

$4 y^{2} - 3 = {(- 1)}^{4} y^{4}$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$4 y^{2} - 3 = 1 y^{4}$

ステップ 2.3.1.3

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$4 y^{2} - 3 = y^{4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $y^{4}$ を引きます。

$4 y^{2} - 3 - y^{4} = 0$

ステップ 3.2

$u = y^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$- u^{2} + 4 u - 3 = 0$

$u = y^{2}$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ を $- u^{2} + 4 u - 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) + 4 u - 3 = 0$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $4 u$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 3 = 0$

ステップ 3.3.1.3

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

ステップ 3.3.1.4

$- 1$ を $- (u^{2}) - (- 4 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

ステップ 3.3.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - 4 u) - 1 (3)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 4 u + 3) = 0$

ステップ 3.3.2

因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 4 u + 3$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 3.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u - 3) (u - 1)) = 0$

ステップ 3.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u - 3) (u - 1) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 3.5

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 3.6

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 3.7

最終解は $- (u - 3) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 3, 1$

ステップ 3.8

$u = y^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$y^{2} = 3$

${(y^{2})}^{1} = 1$

ステップ 3.9

$y$ について第1方程式を解きます。

$y^{2} = 3$

ステップ 3.10

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.10.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.10.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{3}$

ステップ 3.10.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 3.10.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3.11

$y$ について二次方程式を解きます。

${(y^{2})}^{1} = 1$

ステップ 3.12

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.12.1

括弧を削除します。

$y^{2} = 1$

ステップ 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.12.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm 1$

ステップ 3.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 1$

ステップ 3.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 1$

ステップ 3.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 1, - 1$

ステップ 3.13

$- y^{4} + 4 y^{2} - 3 = 0$ の解は $y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ です。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

ステップ 4

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$ が真にならない解を除外します。

$y = - \sqrt{3}, - 1$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = - \sqrt{3}, - 1$

10進法形式：

$y = - 1.73205080 \dots, - 1$

基礎数学 例

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